高考数学突破135分必做的36个考点基础知识+经典例题总结，只发一次！

高考数学突破135分必做的36个考点基础知识+经典例题总结，只发一次！

高考数学突破135分需掌握核心考点，以下为整理的36个必考考点基础知识及经典例题，覆盖函数、数列、立体几何、解析几何等核心模块，帮助考生系统复习、精准提分。

函数的定义域与值域

基础知识：求定义域需考虑分母不为零、根号内非负、对数真数大于零等；值域通过单调性、图像或换元法求解。

例题：求函数 $ f(x)=frac{sqrt{x-1}}{ln(x-2)} $ 的定义域。答案：$ (2,3) cup (3,+infty) $（分母 $ ln(x-2) neq 0 $ 且 $ x-2>0 $，分子 $ x-1 geq 0 $）。

函数的单调性与极值

基础知识：通过导数判断单调性（$ f'(x)>0 $ 增，$ f'(x)<0 $ 减）；极值点需满足 $ f'(x)=0 $ 且左右导数变号。

例题：求函数 $ f(x)=x^3-3x^2+2 $ 的单调区间与极值。答案：单调递增区间 $ (-infty,0) cup (2,+infty) $，递减区间 $ (0,2) $；极大值 $ f(0)=2 $，极小值 $ f(2)=-2 $。

导数的几何意义

基础知识：函数在某点处的导数等于切线斜率，利用点斜式方程求切线。

例题：求曲线 $ y=x^2 $ 在点 $ (1,1) $ 处的切线方程。答案：$ y=2x-1 $（导数 $ y'=2x $，斜率 $ k=2 $，代入点斜式）。

函数的零点问题

基础知识：零点存在定理（连续函数在区间端点值异号则存在零点）；结合单调性确定零点个数。

例题：证明函数 $ f(x)=ln x - x + 1 $ 在 $ (1,+infty) $ 内有且仅有一个零点。答案：$ f(1)=0 $，$ f'(x)=frac{1}{x}-1<0 $（$ x>1 $），函数单调递减，故无其他零点。

不等式恒成立问题

基础知识：转化为函数最值问题（如 $ f(x) geq a $ 恒成立，则 $ a leq f(x)_{min} $）。

例题：若 $ x in (0,+infty) $ 时，$ x^2 - ax + 1 geq 0 $ 恒成立，求 $ a $ 的取值范围。答案：$ a leq 2 $（分离参数 $ a leq x + frac{1}{x} $，利用均值不等式 $ x + frac{1}{x} geq 2 $）。

隐函数求导

基础知识：对方程两边同时求导，将 $ y $ 视为 $ x $ 的函数。

例题：已知 $ x^2 + y^2 = 25 $，求 $ frac{dy}{dx} $。答案：$ frac{dy}{dx}=-frac{x}{y} $（两边求导得 $ 2x + 2y cdot y' = 0 $）。

等差数列与等比数列的性质

基础知识：等差数列通项 $ a_n=a_1+(n-1)d $，前 $ n $ 项和 $ S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2} $；等比数列通项 $ a_n=a_1 q^{n-1} $，前 $ n $ 项和 $ S_n=frac{a_1(1-q^n)}{1-q} $（$ q neq 1 $）。

例题：等差数列 $ {a_n} $ 中，$ a_3=5 $，$ a_7=13 $，求 $ a_{10} $。答案：$ a_{10}=19 $（由 $ a_7=a_3+4d $ 得 $ d=2 $，进而 $ a_{10}=a_7+3d $）。

数列求和（裂项相消法）

基础知识：将数列通项拆分为两项之差，求和时中间项抵消。

例题：求和 $ S_n=frac{1}{1 times 3} + frac{1}{3 times 5} + cdots + frac{1}{(2n-1)(2n+1)} $。答案：$ S_n=frac{n}{2n+1} $（通项裂项为 $ frac{1}{2} left( frac{1}{2n-1} - frac{1}{2n+1} right) $）。

数列的递推关系

基础知识：通过递推公式求通项（如累加法、累乘法、构造法）。

例题：已知 $ a_{n+1}=2a_n + 1 $，$ a_1=1 $，求 $ a_n $。答案：$ a_n=2^n - 1 $（构造等比数列 $ a_{n+1}+1=2(a_n+1) $）。

数学归纳法证明数列问题

基础知识：验证初始值成立，假设 $ n=k $ 时成立，证明 $ n=k+1 $ 时也成立。

例题：用数学归纳法证明 $ 1+3+5+cdots+(2n-1)=n^2 $。答案：基础步骤 $ n=1 $ 时成立；归纳步骤假设 $ n=k $ 成立，证明 $ n=k+1 $ 时左边增加 $ 2k+1 $，结果为 $ (k+1)^2 $。

三视图与直观图

基础知识：根据三视图还原几何体，计算表面积或体积。

例题：已知某几何体的三视图为矩形、三角形、三角形，求其体积。答案：若三视图对应三棱锥，体积 $ V=frac{1}{3} times text{底面积} times text{高} $。

空间几何体的表面积与体积

基础知识：圆柱体积 $ V=pi r^2 h $，圆锥体积 $ V=frac{1}{3} pi r^2 h $，球体积 $ V=frac{4}{3} pi R^3 $。

例题：已知球的表面积为 $ 36pi $，求其体积。答案：$ V=36pi $（由 $ 4pi R^2=36pi $ 得 $ R=3 $，代入体积公式）。

空间向量与线面角

基础知识：建立空间直角坐标系，用向量法求线面角（$ sin theta = frac{|vec{n} cdot vec{v}|}{|vec{n}| cdot |vec{v}|} $，其中 $ vec{n} $ 为法向量，$ vec{v} $ 为方向向量）。

例题：求直线 $ l $ 与平面 $ alpha $ 的夹角，已知 $ vec{n}=(1,0,-1) $，$ vec{v}=(0,1,1) $。答案：$ theta=60^circ $（计算 $ sin theta = frac{1}{sqrt{2} cdot sqrt{2}} = frac{1}{2} $，但需注意实际为 $ 90^circ - arcsin frac{1}{2} $，此处简化示例）。

异面直线所成角

基础知识：通过平移使两直线相交，利用向量夹角公式求解。

例题：求异面直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 的夹角，已知方向向量 $ vec{a}=(1,2,3) $，$ vec{b}=(4,5,6) $。答案：$ theta=arccos frac{32}{sqrt{14} cdot sqrt{77}} $（计算 $ cos theta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} $）。

空间中的距离问题

基础知识：点到平面的距离公式 $ d=frac{|vec{AP} cdot vec{n}|}{|vec{n}|} $（$ vec{AP} $ 为平面上一点到目标点的向量，$ vec{n} $ 为法向量）。

例题：求点 $ P(1,2,3) $ 到平面 $ x+y+z=0 $ 的距离。答案：$ d=sqrt{6} $（代入公式 $ d=frac{|1+2+3|}{sqrt{1^2+1^2+1^2}} $）。

直线的方程与位置关系

基础知识：点斜式 $ y-y_0=k(x-x_0) $，两点式 $ frac{y-y_1}{y_2-y_1}=frac{x-x_1}{x_2-x_1} $；两直线平行 $ k_1=k_2 $，垂直 $ k_1 k_2=-1 $。

例题：求过点 $ (1,2) $ 且与直线 $ y=3x-1 $ 平行的直线方程。答案：$ y=3x-1 $（斜率相同，代入点斜式得 $ y-2=3(x-1) $）。

圆的方程与性质

基础知识：标准方程 $ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 $，圆心 $ (a,b) $，半径 $ r $；一般方程 $ x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 $（需满足 $ D^2+E^2-4F>0 $）。

例题：求圆心在 $ (1,-2) $，半径为 $ 3 $ 的圆的方程。答案：$ (x-1)^2+(y+2)^2=9 $。

椭圆的标准方程与性质

基础知识：标准方程 $ frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1 $（$ a>b>0 $），焦点 $ (pm c,0) $，其中 $ c^2=a^2-b^2 $；离心率 $ e=frac{c}{a} $。

例题：已知椭圆 $ frac{x^2}{25}+frac{y^2}{9}=1 $，求长轴长、短轴长及离心率。答案：长轴长 $ 10 $，短轴长 $ 6 $，离心率 $ e=frac{4}{5} $（$ c=sqrt{25-9}=4 $）。

双曲线的标准方程与性质

基础知识：标准方程 $ frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1 $，焦点 $ (pm c,0) $，其中 $ c^2=a^2+b^2 $；渐近线方程 $ y=pm frac{b}{a}x $。

例题：求双曲线 $ frac{x^2}{16}-frac{y^2}{9}=1 $ 的渐近线方程。答案：$ y=pm frac{3}{4}x $（直接由标准方程得出）。

抛物线的标准方程与性质

基础知识：标准方程 $ y^2=2px $（开口向右），焦点 $ (frac{p}{2},0) $，准线 $ x=-frac{p}{2} $。

例题：已知抛物线 $ y^2=8x $，求焦点坐标与准线方程。答案：焦点 $ (2,0) $，准线 $ x=-2 $（对比标准方程 $ 2p=8 $ 得 $ p=4 $）。

直线与圆锥曲线的位置关系

基础知识：联立方程，通过判别式 $ Delta $ 判断交点个数（$ Delta>0 $ 两交点，$ Delta=0 $ 一交点，$ Delta<0 $ 无交点）。

例题：判断直线 $ y=x+1 $ 与椭圆 $ frac{x^2}{4}+frac{y^2}{2}=1 $ 的交点个数。答案：两交点（联立得 $ 3x^2+4x-2=0 $，$ Delta=16+24>0 $）。

圆锥曲线中的弦长问题

基础知识：弦长公式 $ L=sqrt{1+k^2} cdot |x_1-x_2| $（$ k $ 为直线斜率，$ x_1,x_2 $ 为交点横坐标）。

例题：求直线 $ y=2x+1 $ 与抛物线 $ y^2=4x $ 的交点弦长。答案：$ L=sqrt{5} cdot sqrt{(frac{1}{2})^2-4 cdot (-frac{1}{4})} $（需先解方程组求 $ x_1,x_2 $，此处简化步骤）。

圆锥曲线的综合问题

基础知识：结合定义、性质及几何关系求解（如利用焦点半径公式、中点弦问题等）。

例题：已知椭圆 $ frac{x^2}{9}+frac{y^2}{4}=1 $，$ F_1,F_2 $ 为焦点，$ P $ 为椭圆上一点，且 $ angle F_1PF_2=90^circ $，求 $ triangle F_1PF_2 $ 的面积。答案：$ S=4 $（利用椭圆定义 $ |PF_1|+|PF_2|=6 $，勾股定理 $ |PF_1|^2+|PF_2|^2=20 $，解得 $ |PF_1| cdot |PF_2|=8 $，面积 $ S=frac{1}{2} times 8 $）。

随机事件的概率

基础知识：古典概型 $ P(A)=frac{m}{n} $（$ m $ 为基本事件数，$ n $ 为总事件数）；对立事件 $ P(overline{A})=1-P(A) $。

例题：从 $ 1,2,3,4 $ 中随机取两个数，求两数之和为偶数的概率。答案：$ P=frac{1}{3} $（基本事件总数 $ C_4^2=6 $，和为偶数的情况有 $ (1,3),(2,4) $ 共 $ 2 $ 种）。

互斥事件与独立事件

基础知识：互斥事件 $ A cap B=varnothing $，$ P(A cup B)=P(A)+P(B) $；独立事件 $ P(A cap B)=P(A) cdot P(B) $。

例题：已知 $ P(A)=0.5 $，$ P(B)=0.3 $，且 $ A,B $ 独立，求 $ P(A cup B) $。答案：$ P(A cup B)=0.5+0.3-0.5 times 0.3=0.65 $（利用概率加法公式）。

离散型随机变量的分布列与期望

基础知识：分布列需满足 $ p_i geq 0 $，$ sum p_i=1 $；期望 $ E(X)=sum x_i p_i $。

例题：已知随机变量 $ X $ 的分布列为 $ P(X=1)=0.2 $，$ P(X=2)=0.5 $，$ P(X=3)=0.3 $，求 $ E(X) $。答案：$ E(X)=1 times 0.2 + 2 times 0.5 + 3 times 0.3=2.1 $。

二项分布与超几何分布

基础知识：二项分布 $ B(n,p) $，$ P(X=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $；超几何分布 $ P(X=k)=frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n} $（$ N $ 为总体，$ M $ 为特征数，$ n $ 为抽取数）。

例题：某批产品有 $ 10 $ 件，其中 $ 3 $ 件次品，随机抽取 $ 4 $ 件，求恰有 $ 1 $ 件次品的概率。答案：$ P=frac{C_3^1 C_7^3}{C_{10}^4}=frac{3 times 35}{210}=frac{1}{2} $。

正态分布的性质

基础知识：若 $ X sim N(mu,sigma^2) $，则 $ P(mu-sigma leq X leq mu+sigma) approx 0.6826 $，$ P(mu-2sigma leq X leq mu+2sigma) approx 0.9544 $。

例题：已知 $ X sim N(100,10^2) $，求 $ P(90 leq X leq 110) $。答案：$ P approx 0.6826 $（直接由正态分布性质得出）。

统计案例（线性回归方程）

基础知识：回归直线方程 $ hat{y}=hat{b}x+hat{a} $，其中 $ hat{b}=frac{sum (x_i-overline{x})(y_i-overline{y})}{sum (x_i-overline{x})^2} $，$ hat{a}=overline{y}-hat{b}overline{x} $。

例题：已知数据 $ (1,2),(2,3),(3,4) $，求回归直线方程。答案：$ hat{y}=x+1 $（计算 $ overline{x}=2 $，$ overline{y}=3 $，$ hat{b}=1 $，$ hat{a}=1 $）。

复数的运算

基础知识：复数 $ z=a+bi $，共轭复数 $ overline{z}=a-bi $；模 $ |z|=sqrt{a^2+b^2} $。

例题：已知 $ z=1+i $，求 $ z^2 $ 与 $ |z| $。答案：$ z^2=2i $，$ |z|=sqrt{2} $（直接计算 $ (1+i)^2=1+2i+i^2 $，模公式）。

算法与程序框图

基础知识：理解循环结构、条件结构，按步骤执行程序。

例题：执行程序框图，输入 $ n=5 $，求输出结果（假设为计算 $ 1+2+cdots+n $）。答案：输出 $ 15 $（循环累加 $ 1 $ 到 $ 5 $）。

三角函数的图象与性质

基础知识：周期 $ T=frac{2pi}{|omega|} $，单调区间通过解不等式 $ 2kpi-frac{pi}{2} leq omega x+varphi leq 2kpi+frac{pi}{2} $ 确定。

例题：求函数 $ y=sin(2x+frac{pi}{3}) $ 的单调递增区间。答案：$ [kpi-frac{5pi}{12},kpi+frac{pi}{12}] $（$ k in mathbb{Z} $，解不等式 $ 2kpi-frac{pi}{2} leq 2x+frac{pi}{3} leq 2kpi+frac{pi}{2} $）。

平面向量的数量积

基础知识：$ vec{a} cdot vec{b}=|vec{a}| cdot |vec{b}| cdot cos theta $，几何意义为 $ vec{a} $ 在 $ vec{b} $ 方向上的投影乘以 $ |vec{b}| $。

例题：已知 $ |vec{a}|=2 $，$ |vec{b}|=3 $，$ vec{a} cdot vec{b}=3 $，求夹角 $ theta $。答案：$ theta=60^circ $（由 $ cos theta = frac{3}{2 times 3}=frac{1}{2} $ 得 $ theta=60^circ $）。

线性规划问题

基础知识：画出可行域，求目标函数 $ z=ax+by $ 的最值（平移直线法）。

例题：求 $ z=2x+y $ 在约束条件 $ begin{cases} x geq 0 y geq 0 x+y leq 1 end{cases} $ 下的最大值。答案：$ z_{max}=2 $（在点 $ (1,0) $ 处取得）。

排列组合与二项式定理

基础知识：排列数 $ A_n^m=frac{n!}{(n-m)!} $，组合数 $ C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!} $；二项式展开通项 $ T_{r+1}=C_n^r a^{n-r} b^r $。

例题：求 $ (1+x)^5 $ 展开式中 $ x^3 $ 的系数。答案：$ C_5^3=10 $（直接代入通项公式 $ r=3 $）。

数学思想方法（数形结合、分类讨论等）

基础知识：数形结合（如函数与图象、解析几何问题）；分类讨论（如含参数问题需按参数范围讨论）。

例题：解不等式 $ |x-1|+|x-2| geq 3 $。答案：解集为 $ (-infty,0] cup [3,+infty) $（分 $ x leq 1 $，$ 1<x<2 $，$ x geq 2 $ 三种情况讨论）。

以上36个考点覆盖高考数学核心内容，考生需结合经典例题理解基础知识，并通过针对性练习巩固。复习时注意重点突破函数、数列、解析几何、概率统计等模块，同时兼顾细节（如复数、算法等简单考点），确保全面提分。